Дана функция: 
1. Интервал знака постоянства.
Производная равна: 
Приравняем её нулю: 1 = 4√х.
1 = 16х, х = 1/16.
Критическая точка одна.
х = 0.05 0.0625 0.1
y'=(1/(2x^(1/2))-2 0.23607
0
-0.41886.
Где производная положительна - там функция возрастает, где производная отрицательна - там функция убывает.
Убывает на промежутке (-oo, 1/16],
возрастает на промежутке [1/16, oo)
2. Точка максимума.
По пункту 1: где производная меняет знак с + на - , там максимум функции - это точка х = 1/16, у = 1/8.
3. Интервал выпуклости.
Находим вторую производную: 
Переменная в знаменателе не может быть равна нулю - перегиба у функции нет. Вторая производная только отрицательна (корень из квадрата) - график функции только выпуклый вверх.
4. Какие Асимптоты имеет график.
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx→−∞(x√−2x)=∞limx→−∞(x−2x)=∞значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
limx→∞(x√−2x)=−∞limx→∞(x−2x)=−∞значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x) - 2*x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx→−∞(1x(x√−2x))=−2limx→−∞(1x(x−2x))=−2значит, уравнение наклонной асимптоты слева:
y=−2xy=−2x,
limx→∞(1x(x√−2x))=−2limx→∞(1x(x−2x))=−2значит, уравнение наклонной асимптоты справа:
y=−2x.