5^x+7^x=12^x сколько кОрнЕЙ уравнения

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Перепишем уравнение в виде $\frac{5}{12}( \frac{5}{12} )^{x-1} + \frac{7}{12}( \frac{7}{12} )^{x-1}=1$ .
1) При x>1 имеем (5/12)^(x-1)<1 и <span>(7/12)^(x-1)<1 (т.к. 5/12<1 и 7/12<1 и возводятся в положительную степень) поэтому левая часть уравнения строго меньше 5/12+7/12, т.е. меньше правой части, значит при x>1 решений нет.
2) При x<1, аналогично </span>(5/12)^(x-1)>1 и (7/12)^(x-1)>1 т.к. положительные числа меньшие 1 возводятся в отрицательную степень. Значит левая часть строго больше 7/12+5/12, т.е. тоже нет решений.
3) при х=1 очевидное решение.
Ответ: 1 корень, х=1.

Denik777_zn (56.6k баллов) 29 Апр, 18

iknowthatyoufeelbro_zn · Answer 1 · 2018-04-29T13:53:16+0000

5^x+7^x=12^x
Разделим обе части на 12^x
(5/12)^x+(7/12)^x=1
Проанализируем функцию f(x)=(5/12)^x+(7/12)^x.
f'(x)=ln(5/12)*(5/12)^x+ln(7/12)*(7/12)^x < 0 при любых действительных x. Это значит, функция постоянно убывает и пересекает прямую y=a ровно единожды. Таким образом, путем подбора определяем корень уравнения x=1 и говорим, что он единственный, судя по рассуждениям, приведенным выше.
Ответ: 1 корень.