Методом математической индукции докажите 1) формулу общего члена арифметической...

0 голосов
69 просмотров

Методом математической индукции докажите
1) формулу общего члена арифметической прогрессии a_n=a_1+d*(n-1)
2) \displaystyle S_n=\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии;
3) формулу общего члена геометрической прогрессии
\displaystyle b_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q} при q \neq 1

Алгебра (2.0k баллов) | 69 просмотров
0

отталкивайся от того, что индукция работает так: (есть формула, её надо доказать, проверяешь правильность для n = 1), после , если работает при 1 делаешь так, добавляешь в формулу к n единицу, допустим формула 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) и это равно чему-то. слева и справа добавляешь (2(n+1) -), после справа приводишь всё так, чтобы в формуле просто коэф. у n изменились на 1.

оставил комментарий (1.2k баллов)
0

вот пример более точный. задача: 1 + 2 + 3 + .. + n = n(n+1)/2, при n = 1 равенство верно, теперь добавим n + 1 слева и справа: 1 + .. + n + 1 = n(n+1)/2 + n + 1, теперь только правая часть: (n + 1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2, вот и всё, это доказано т.к. по формуле для n+1 => (n+1)((n+1)+1)/2 = (n+1)(n+2)/2

оставил комментарий (1.2k баллов)
0

Попробуем. Проверим для n=1: a_1=a_1+d*(n-1)=a_1 равенство верно. Пусть n=k: a_k=a_1+d*(k-1). Проверим для n=k+1: a_(k+1)=a_1+d*(k+1-1)=a_1+d*k. По принципу мат. индукции делаем вывод, что требуемое утверждение доказано

оставил комментарий (2.0k баллов)
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

1)
База индукции: 1

a_1=a_1+d*0=a_1 проверено.

Предположим, что утверждение верно для n=k.
a_{k}=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d
Покажем, и докажем, что утверждение верно так же для n=k+1.
a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk
Так как , следуя предположению a_{k}=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d то прибавив к данному выражению d. Мы получим  следующий член a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk.
Т.е. предположение верно. Ч.Т.Д.

2)
S_n= \frac{n[2a_1+d(n-1)]}{2}
База : 1
Проверка: S_1= \frac{2a_1}{2}=a_1. 

Предположение: n=k \Rightarrow S_k= \frac{k[2a_1+d(k-1)]}{2}= \frac{2a_1k+dk^2-dk}{2}

Теперь покажем и докажем, что данное выражение верно и при n=k+1:

Так как предыдущий член был равен k, то что бы узнать сумму первых k+1 членов, достаточно прибавить  k+1 член (используя формулу которую мы доказали ранее):
S_{k+1}= \frac{2a_1k+dk^2-dk}{2}+(a_1+dk)= \frac{2(a_1+dk)+2a_1k+dk^2-dk}{2}\\= \frac{2a_1+2dk+2a_1k+dk^2-dk}{2}= \frac{2a_1k+2a_1+dk^2+dk}{2}\\ = \frac{2a_1(k+1)+dk(k+1)}{2}= \frac{(k+1)(2a_1+dk)}{2}
т.е. мы пришли к изначальной формуле, если туда подставить k+1. Ч.Т.Д.

3)
Это не формула общего члена, это формула суммы.
При 
q=1 получается деление на ноль, поэтому сразу пишем q \neq 1
База: 1
b_1= \frac{b_1(1-q)}{(1-q)}=b_1
Предположим, что формула верна для: n=k
Покажем и докажем что формула верна для n=k+1:
Как и с суммой арифм.прогрессии. Мы добавим k+1 член к сумме.
b_{k+1}= \frac{b_1(1-q^k)}{1-q}+b_1q^k= \frac{(1-q)b_1q^k+b_1(1-q^k)}{1-q}\\= \frac{b_1[(1-q)q^k+(1-q^k)]}{1-q}= \frac{b_1[q^k-q^{k+1}+1-q^k]}{1-q}= \frac{b_1(1-q^{k+1})}{1-q}
Ч.Т.Д.

(46.3k баллов)
Похожие задачи