Решить без таблицы и без калькулятораtg 5п/8=

$tg\frac{\alpha}{2}=б\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}}$

Её можно выразить из основного тригонометрического тоджества. Знак пере корнем выбирается по знаку левой части.

$tg\frac{5\pi}{8}$ - вторая четверть, значит отрицательный.

$tg(\frac{\frac{5\pi}{4}}{2}) =-\sqrt{\frac{1-cos\frac{5\pi}{4}}{1+cos\frac{5\pi}{4}}}=-\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi}{4}}{1-cos\frac{\pi}{4}}}=-\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\\=-\sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}}=-\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}$