Sin^2(0.5arcsin(0.8)-2arctg(-2)) Прошу объяснения

Question

Дан 1 ответ

artalex74_zn · Answer 1 · 2018-04-29T14:12:03+0000

$sin^2( \frac{1}{2} arcsin\ 0,8-2arctg(-2))=sin^2( \frac{1}{2} arcsin\ 0,8+2arctg\ 2)$
Введём обозначения: $arcsin\ 0,8=x;\ arctg\ 2=y;\ \Longrightarrow\ sin\ x=0,8\ u\ tg\ y =2$
Отсюда следует, что х и у - углы I четверти. И все дальнейшие рассуждения будут опираться на этот факт. В новых обозначениях задача выглядит так:
При условии, что sin x =0,8 и tg у = 2, где х и у - углы I четверти, найти значение выражения $sin^2( \frac{x}{2} +2y)$ .
Преобразуем его с помощью формулы синуса суммы: $sin^2( \frac{x}{2} +2y)=(sin\frac{x}{2} cos2y+cos\frac{x}{2} sin2y)^2$
Находим числовое значение каждого элемента в скобках.
$1)\ sin\frac{x}{2} =\sqrt{ \dfrac{1-cos\ x}{2} }=\sqrt{ \dfrac{1-\sqrt{1-sin^2x}}{2} }= \sqrt{ \dfrac{1-\sqrt{1-(0,8)^2}}{2} }=\\ = \sqrt{ \dfrac{1-\sqrt{1-0,64}}{2} }=\sqrt{ \dfrac{1-\sqrt{0,36}}{2} }=\sqrt{ \dfrac{1-0,6}{2} }=\sqrt{0,2}= \frac{\sqrt5}{5} .$
$2)\ cos\frac{x}{2} =\sqrt{1-sin^2\frac{x}{2}}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt5}{5})^2}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{4}{5}}= \frac{2 \sqrt5}{5}$
$3)\ cos2y= \frac{1-tg^2y}{1+tg^2y} = \frac{1-4}{1+4} =- \frac{3}{5} \\ 4)\ sin2y= \frac{2tg\ y}{1+tg^2y} = \frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$
Получаем результат:
$sin^2( \frac{x}{2} +2y)=(sin\frac{x}{2} cos2y+cos\frac{x}{2} sin2y)^2=\\ =( \frac{\sqrt5}{y} *(- \frac{3}{5})+ \frac{2\sqrt5}{5} * \frac{4}{5})^2=( \frac{8\sqrt5}{25} -\frac{3\sqrt5}{25} )^2=(\frac{\sqrt5}{5} )^2= \frac{1}{5}=0,2$
Ответ: 0,2

Sin^2(0.5*arcsin(0.8)-2*arctg(-2)) Прошу объяснения

Sin^2(0.5arcsin(0.8)-2arctg(-2)) Прошу объяснения