Стрелок стреляет по трём мишеням до тех пор, пока не собьёт все. Вероятность попадания...

Question

20 просмотров

Стрелок стреляет по трём мишеням до тех пор, пока не собьёт все. Вероятность попадания при одном выстреле равна p.
Найдите вероятность того, что потребуется ровно 5 выстрелов. Найдите математическое ожидание числа выстрелов. Пожалуйста с объяснением и формулой

Математика TigerYa_zn (95.0k баллов) 29 Апр, 18 | 20 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Рассуждаем: нужно попасть 3 раза из 5 выстрелов, причем так как стрельба прекращается после поражения всех мишеней, то 5-ый выстрел был удачным. Тогда разделяем: 2 попадания из 4 выстрелов + удачный 5-ый выстрел. Найти вероятность попадания 2 раза из 4 выстрелов можно через формулу
$P(A)=C_4^2*p^2*q^2$
p-вероятность попасть (в квадрате так как попали 2 раза)
q=(1-p)-вероятность не попасть (в квадрате так как не попали 4-2=2 раза)
C из 4 по 2 - сочетание без повторений
$P(A)= \frac{4*3}{1*2} p^2*(1-p)^2 \\ P(A)= 6p^2*(1-p)^2 \\ P(A)= 6p^2*(1-2p+p^2) \\ P(A)= 6p^2-12p^3+6p^4$
Пятый выстрел был удачным значит все выражение умножаем на вероятность попадания р:
$P(B)=6p^3-12p^4+6p^5$

Мат ожидание вычисляется как частное количества необходимых попаданий и вероятности попадания
$M(X)= \frac{3}{p}$
Так в идеальном случае (p=1) выстрелов понадобится 3, а случае попадания p=0,5 - 6 выстрелов (из которых теоретически половина пройдет мимо), и так далее по принципу "чем меньше вероятность попадания, тем больше необходимо выстрелов"

ответы: 6p^3-12p^4+6p^5; 3/р

123456654321_zn (528 баллов) 29 Апр, 18