Дано:㏒125 по основанию 4=а Найти:lg64

$log_4125=a$
Представим основание и показатель логарифма в степенях: $log_4125=log_{2^2}5^3$ .
Недолго вспоминаем свойства логарифмов, и перед тобою сейчас 3 из них:
$log_{a^p}x=\frac{1}{p}log_ax;\\log_ax^p=p*log_ax;\\log_xy=\frac{1}{log_yx}$ .

$log_{2^2}5^3=\frac{1}{2}log_25^3=\frac{1}{2}*3*log_25=\frac{3}{2}*log_25$
Ещё не забыл, что всё это выражение равно α? Так вот и пишем:
$\frac{3}{2}*log_25=a$ , тогда, следовательно,
$log_25=a:\frac{3}{2}=a*\frac{2}{3}=\frac{2a}{3}$ .

Разбираемся со вторым логарифмом, но для начала вспомним о том, что такое десятичный логарифм: $lgx=log_{10}x$ . На примере, думаю, всё наглядно понятно. Едем. $lg64=log_{10}64$ . Шестьдесят четыре – это два в шестой степени, посему имеем право записать:
$log_{10}64=log_{10}2^6$ . Но и не забываем про свойства, описанные немного ранее:
$log_{10}2^6=6log_{10}2$ .

Надеюсь, ты ещё помнишь третье свойство, которое я написал в самом начале? Тогда поехали:
$6log_{10}2=\frac{6}{log_210}=\frac{6}{log_2(2*5)}=\frac{6}{log_22+log_25}=\frac{6}{1+log_25}$ .
$log_25$ ... кажется, где-то он есть в решении, да причём и равен $\frac{2a}{3}$ ! Подставляем в слагаемое, находящееся в знаменателе дроби, сокращаем, перемножаем, складываем – считаем, короче.

$\frac{6}{1+log_25}=\frac{6}{1+\frac{2a}{3}}=\frac{6}{\frac{3}{3}+\frac{2a}{3}}=\frac{6}{\frac{3+2a}{3}}=6*\frac{3}{3+2a}=\frac{18}{3+2a}$

Ответ: $lg64=\frac{18}{3+2a}$ , если $log_4125=a$ .