(Много баллов!) Дробь несократима. Выяснить, сократима или несократима сумма двух дробей

Question

(Много баллов!) Дробь несократима. Выяснить, сократима или несократима сумма двух дробей

Answer 1

Здесь опять есть нюанс, связанный с тем, что же все-таки мы считаем числителем и знаменателем новой дроби. Если мы новой дробью считаем дробь с числителем 2а+b и знаменателем a(a+b), то такая дробь несократима.

Предположим, противоположное, что 1/a+1/(a+b)=(2а+b)/(a(a+b)) сократима, т.е. 2а+b и a(a+b) делятся на некоторое простое число q.  Т.к. q - простое и произведение а(a+b) на него делится, то либо а, либо a+b делится на q.
1) Пусть a делится на q. В силу равенства b=(2a+b)-2a, получаем, что b тоже делится на q, а значит дробь a/b - сократима. Противоречие.
2) Если а+b делится на q, то в силу равенств
а=(2a+b)-(a+b) и b=2(a+b)-(2a+b), получаем, что а и b тоже делятся на q и дробь а/b сократима. Противоречие. Таким образом, дробь (2а+b)/(a(a+b)) несократима.

Comments

ну, причем здесь это. Просто возьмите a=1, b=2

---

Это не абсурдно. Тут надо различать, что одно и то же число можно записать разными дробями, с разными числителями и знаменателями. Что дробь - это всего лишь ЗАПИСЬ рационального числа. Так вот у вас есть рациональное число 1/a+1/(a+b), но не указано, какую из многих ЗАПИСЕЙ этого числа я должен использовать, чтобы выяснять сократимость. Я понял ваш вопрос, и решил так как вы говорите. Но по факту условие немного некорректное.

---

Я понял о чем вы. Тогда в условии нужно было бы указать, что складываем канонически. Иначе смысл задания теряется, если приводим знаменатели дробей не к НОК.

---

да

---

Ну, кстати я общий знаменатель взял a(a+b) а не НОК(а,a+b). Но понятно, что если дробь со знаменателем несократима, то и с НОК(а,a+b) тоже несократима.

---

) Кстати, есть вопрос по решению. "В силу равенства b=(2a+b)-2a, получаем, что b тоже делится на q" - почему отсюда можно сделать вывод, что q | b

---

потому что 2а+b делится на q и 2а делится на q, значит и их разность делится на q

---

2a + b не делится на q, поскольку не доказано, что b делится на q

---

Делится. Там же написано. Мы предположили, что дробь (2a+b)/(a(a+b)) сократима, т.е. ее числитель делится на q и знаменатель делится на q. Т.е. 2a+b делится на q. Мы это используем и приходим к противоречию

---

Мы доказываем, что b делится на q в предположении, что дробь сократима. представив это b в виде разности двух чисел делящихся на q. И в этом противоречие.