Формула для приближённого вычисления с помощью дифференциала имеет вид:
f(x₀+Δx)≈f(x₀)+d[f(x₀)]
По условию задания имеем функцию f(x)=∛x, необходимо вычислить приближённое значение f(8,1)=∛8,1.
Число 8,1 представим в виде 8+0,1, то есть х₀=8 Δх=0,1.
Вычислим значение функции в точке х₀=8
f(8)=∛8=2
Дифференциал в точке находится по формуле
d[f(x₀)]=f'(x₀)*Δx
Находим производную функции f(x)=∛x
f'(x)=(∛x)'=![(x^{ \frac{1}{3} })'= \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3} }= \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%7D%29%27%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+x%5E%7B-+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3+%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%7D+%7D+ "(x^{ \frac{1}{3} })'= \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3} }= \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }")
найдём её значение в точке х₀=8
f'(8)=![\frac{1}{3 \sqrt[3]{8^2} }= \frac{1}{12}=0,0833](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B3+%5Csqrt%5B3%5D%7B8%5E2%7D+%7D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D%3D0%2C0833 "\frac{1}{3 \sqrt[3]{8^2} }= \frac{1}{12}=0,0833")
d[f(8)]=0,0833*0,1=0,0083
Подставляем найденные значения в формулу вычисления с помощью дифференциала и получаем
f(8,1)=∛8,1≈2+0,0083=2,0083