Чтобы вершины парабол y=x^2+4mx+2m и y=-x^2+2mx+4 были расположены по одну сторону от оси х должно выполняться условие:
дискриминант одной из парабол должен быть больше нуля, а второй - меньше нуля.
Рассмотрим дискриминант второй параболы: Д = в² - 4ас.
Д₂ = 4m²-4*(-1)*4 = 4m²+16. Этот дискриминант положителен при любом значении m.
Поэтому дискриминант первой параболы:
Д₁ = 16m²-4*1*2m =16m²-8m < 0.
Графически - это часть параболы, расположенной ниже оси Х.
Находим точки пересечения оси Х:
8m(2m-1) = 0.
m = 0, m = 1/2.
Ответ: 0 < m < 1/2.