Помогите найти D(f) и E(f) функции y=8x/x2+4 D(f) это область определения чисел по оси х,...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Видимо, имеется в виду $f(x) = \frac{8x}{x^2 +4}$ . Важно заметить, что по х ты берёшь числа, а вот по у не берёшь, а получаешь. Всё, что может помешать данной функции быть определённой - это знаменатель. На ноль делить нельзя. Таким образом, функция не определена, когда $x^2 + 4 = 0$ , но таких вещественных $x$ не бывает, поэтому $D(f) = \mathbb{R}$ .
Как бы найти $E(f)?$ Например, можно решать эту задачу, используя производные. Я же приведу здесь другое решение.
Будем решать уравнение $a = \frac{8x}{x^2+4},$ где x - неизвестная. Таким образом, мы найдём прообраз точки а, если он есть. Если решение есть, то точка $a$ входит в $E(f).$ Преобразуем:
$(x^2+4)a = 8x \\ ax^2 -8x+4a.$
При $a=0$ имеем $-8x=0 \Rightarrow x =0$ - точка подходит. Иначе
$ax^2 -8x+4a \Leftrightarrow x^2 - \frac{8}{a}x + 4. \\ D = b^2-4ac = \frac{64}{a^2} -16.$
Решение есть тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен.
$D \ge 0 \Leftrightarrow \frac{64}{a^2} -16 \ge 0 \Leftrightarrow 64 \ge 16a^2 \Rightarrow a^2 \le 4 \Rightarrow |a| \le 2$
Так как ноль нам подошёл, то это и есть ответ:
$E(f) = [-2; 2]$

mathpro_zn (2.0k баллов) 29 Апр, 18