При каких значениях k уравнение : имеет положительный корень. Решить понятно и легко...

Предлагаю рассуждать так:
$f(x)_1 = \frac{3x+1}{x+1}$
$y=k-2$
Первый график $f(x) _1$ задает гиперболу.
Второй график представляет собой горизонтальную прямую завис. от k.
Чтобы корень был положительным, график горизонтальной должен проходить через гиперболу по иксам большем нуля.
$f(0) = \frac{0+1}{1} = 1$ и до асимптоты, к тому чему стремится на бесконечности.
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x+1}{x+1} = \frac{3}{1} = 3$ расчеты сделаны с помощью правила Лопиталя, такие функции диф. можно в уме.
Т.е. нам нужен такой промежуток k, которые проходят больше 1, но меньше 3.
11; k>3 " alt=" k-2>1; k>3 " align="absmiddle" class="latex-formula">
$k-2<3; k<5$
$k \in (3;5)$