Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в...

Question

144 просмотров

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=BC=10, AC=16.Боковое ребро призмы равно 24. Точка P-середина ребра BB1. Найдите тангенс угла между плоскостями A1B1C1 и ACP. Найдите расстояние от точки B до плоскости PAC

Геометрия Koshechka565656_zn (480 баллов) 29 Апр, 18 | 144 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Основания призмы всегда параллельны, поэтому тангенс угла между плоскостями (А₁В₁С₁) и (ACP), который нужно найти, равен тангенсу угла между плоскостями (АВС) и (ACP), который будем искать.

Угол плоскостями (АВС) и (ACP) -- это ∠BQP, где BQ -- высота Δ АВС.

Высота BQ равнобедненного Δ АВС является ещё и медианой, поэтому АQ = АС/2 = 16/2 = 8.

По теореме Пифагора: $BQ = \sqrt{AB^2-AQ^2}= \sqrt{10^2-8^2}=6$ .

По условию BP = BB₁/2 = 24/2 = 12.

tg∠BQP = BP/BQ = 12/6 = 2

Расстоянием от точки B до плоскости (APC) будет перпендикуляр BR.
$BR = BQ*sin\ \textless \ BQP = BQ* \sqrt{1-cos^2\ \textless \ BQP}=$ $=BQ* \sqrt{1- \frac{1}{1+tg^2\ \textless \ BQP}}=BQ* \sqrt{\frac{tg^2\ \textless \ BQP}{1+tg^2\ \textless \ BQP}}=BQ* \frac{tg\ \textless \ BQP}{\sqrt{1+tg^2\ \textless \ BQP}}=$ $=6*\frac{2}{\sqrt{1+2^2}}=\frac{12}{\sqrt5}=\frac{12\sqrt5}{5}$ .

flsh_zn (23.0k баллов) 29 Апр, 18