Помогите пожалуйста с уравнением

Воспользуемся теоремой:

Уравнение f(x)=g(x), где f - возрастающая функция, g - убывающая

функция, имеет не более одного корня, т. е. либо вообще не имеет

корней, либо имеет единственный корень.

$( \frac{1}{2}) ^{x-1} = \sqrt{x}$

$f(x)=( \frac{1}{2}) ^{x-1}$ - убывающая функция

$g(x)= \sqrt{x}$ - возрастающая функция

Следовательно, если и есть корень , то он - единственный, и легко находится подбором: $x=1$

Проверка:

$( \frac{1}{2} )^{1-1} = \sqrt{1}$

$( \frac{1}{2} )^{0} = 1$ - верно

Ответ: $1$