Уравнения с модулем. решите, срочно.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

А)

Поначалу решим:
1. $2-x=0 \Rightarrow x=2$
2. $x+6=0 \Rightarrow x=-6$

Отмечаем данные нули на прямой. Теперь имеем интервалы и их знаки для каждого из уравнений:
$(-\infty,-6] \\1.2-x \Rightarrow +\\2. x+6 \Rightarrow -$
$[-6,2] \\1. 2-x\Rightarrow +\\2.x+6\Rightarrow +$
$[2,+\infty) \\1.2-x\Rightarrow - \\2.x+6\Rightarrow +$

Теперь следуя интервалу, раскрываем модули по их знакам:
$(-\infty,-6]$
$3(2-x)-x-6=16 \Rightarrow -4x=16 \Rightarrow x=-4$

Проверяем корень:
$3|2+4|+|6-4|=18+2=20$
Значит корень сторонний, и он нам не нужен.

$[-6,2]$
$3(2-x)+(x+6)=16 \Rightarrow 6-3x+x+6=16 \Rightarrow 12-2x=16\\\Rightarrow -2x=4 \Rightarrow x=-2$

Проверяем:
$3|2+2|+|6-2|=16 \Rightarrow 12+4=16$

Значит это первый корень.

$[2,+\infty)$
$-3(2-x)+x+6=16 \Rightarrow 4x=16 \Rightarrow x=4$

Проверяем
$3|2-4|+|4+6|=6+10=16$
Следовательно это 2 корень.
Мы решили уравнение.

б)
$\sqrt{x^2+6x+9}- \sqrt{x^2-8x+16} =3 \Rightarrow \sqrt{(x+3)^2} - \sqrt{(x-4)^2}=3 \\\Rightarrow |x+3|-|x-4|=3$

Проделываем тоже самое:
$x+3=0 \Rightarrow x=-3 \\x-4=0 \Rightarrow x=4$
$(-\infty,-3]\\x+3 \Rightarrow - \\x-4 \Rightarrow -$
$-(x+3)+(x-4)=3 \Rightarrow -x-3+x-4=3 \Rightarrow -7=3$
Нет решений

$[-3,4] \\ x+3\Rightarrow +\\x-4\Rightarrow -$
$x+3+x-4=3 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$
Проверяем корень, и он подходит. Следовательно это 1 корень.

$[4,+\infty) \\x+3\Rightarrow +\\x-4 \Rightarrow +$
$x+3-x+4=3 \Rightarrow 7=3$
Нет решений.

Следовательно здесь лишь 1 корень.

Newtion_zn (46.3k баллов) 29 Апр, 18