Запишите числа в порядке возрастания: sin(π/3); sin(7π/5); sin(2π/5); sin(6π/7)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\sin \frac{ \pi }{3}$ ; $\sin \frac{ 7\pi }{5}$ ; $\sin \frac{2 \pi }{5}$ ; $\sin \frac{ 6\pi }{7}$

Числа $\sin \frac{ \pi }{3}$ ; $\sin \frac{2 \pi }{5}$ ; $\sin \frac{ 6\pi }{7}$ положительны, так как синус в 1 и 2 четвертях положителен. Число $\sin \frac{ 7\pi }{5}$ отрицательное, так как синус в 3 четверти отрицателен. Значит, $\sin \frac{ 7\pi }{5}$ - наименьшее число.

Запишем оставшиеся числа, при необходимости преобразовав их так, чтобы под знаком синуса находился угол 1 четверти:
$\sin \frac{ \pi }{3}$ ; $\sin \frac{2 \pi }{5}$ ; $\sin \frac{ 6\pi }{7} =\sin( \pi - \frac{ \pi }{7})=\sin \frac{ \pi }{7}$

При увеличении аргумента синуса от $0$ до $\frac{ \pi }{2}$ значение синуса также возрастает от $0$ до $1$ . Значит, осталось расположить аргументы синусов в порядке возрастания.

$\frac{ \pi }{3}$ ; $\frac{ 2\pi }{5}$ ; $\frac{ \pi }{7}$
Приведем числа к наименьшему общему знаменателю $3\cdot5\cdot7=105$ :
$\frac{ \pi }{3} =\frac{ 35\pi }{105}$
$\frac{ 2\pi }{5} =\frac{ 42\pi }{105}$
$\frac{ \pi }{7} =\frac{ 15\pi }{105}$
Значит, $\frac{ \pi }{7} \ \textless \ \frac{ \pi }{3} \ \textless \ \frac{ 2\pi }{5}$
Тогда, $\sin\frac{ \pi }{7} \ \textless \ \sin\frac{ \pi }{3} \ \textless \ \sin \frac{ 2\pi }{5}$

Учитывая ранее выявленное отрицательное число $\sin \frac{7 \pi }{5}$ и равенство $\sin \frac{6 \pi }{7} =\sin \frac{ \pi }{7}$ получаем цепочку:
$\sin \frac{ 7\pi }{5}$ ; $\sin \frac{ 6\pi }{7}$ ; $\sin \frac{ \pi }{3}$ ; $\sin \frac{2 \pi }{5}$

Artem112_zn (271k баллов) 29 Апр, 18