Ну пусть существует такое рациональное число, квадрат которого равен 5. Или 3. Или Р (где Р - ПРОСТОЕ число) . Рациональное число - это такое, которое можно представить в виде дроби m/n, пиричём дроб будем считать несократимой. Значит, квадрат его будет m²/n² = 3. Откуда m² = 3n². Но если квадрат ЦЕЛОГО числа делится на 3, или на 5, или на любое другое ПРОСТОЕ число, то и само это число должно делиться на 3 . То есть число m можно представить как m = 3k, m² = 9k² и отсюда 3k²=n². Значит, n тоже делится на 3. То ест дробь m/n получается сократимой - а мы сначала предположили, что она НЕ сократима. То есть пришли к противоречию. Отсюда и следует, что никакого рационального числа, квадрат которого равен простому числу, не существует.
С четвёркой такой трюк не проходит, потому что 4 - это 2 в квадрате. С восьмёркой проходит, но это двухходовка: 8 = 2*2².