Помогите решить log2(x-5)+log2(x-1)<=log2(4x-11)

0 голосов
33 просмотров

Помогите решить log2(x-5)+log2(x-1)<=log2(4x-11)

Математика (25 баллов) | 33 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
log_2(x-5)+log_2(x-1)\leq log_2(4x-11)

ОДЗ: 
\left\{{{\left\{{{x-5\ \textgreater \ 0}\atop{x-1\ \textgreater \ 0}}\right}\atop{4x-11\ \textgreater \ 0}}\right.\left\{{{\left\{{{x\ \textgreater \ 5}\atop{x\ \textgreater \ 1}}\right}\atop{4x\ \textgreater \ 11}}\right.\left\{{{x\ \textgreater \ 5}\atop{x\ \textgreater \ \frac{11}{4}}}\right.
Конечный ОДЗ: x\ \textgreater \ 5

Переписываем изначальное неравенство, применив свойство логарифмов: 
log_2((x-5)(x-1))\leq log_2(4x-11)\\

Составляем соответствующую систему неравенств, основываясь на том, что основания логарифмов больше 1. 
\left\{{{(x-5)(x-1)\leq4x-11}\atop{(x-5)(x-1)\ \textgreater \ 0}}\right.\left\{{{x^2-6x+5\leq4x-11}\atop{x^2-6x+5\ \textgreater \ 0}}\right.\left\{{{x^2-10x+16\leq0}\atop{x^2-6x+5\ \textgreater \ 0}}\right.\\x^2-10x+16\leq0\\D=\sqrt{(-10)^2-4*1*16}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\\x_1=\frac{10+6}{2}=8\\x_2=\frac{10-6}{2}=2
x_2 не удовлетворяет ОДЗ, потому отбрасываем и решаем второе неравенство. 

x^2-6x+5\ \textgreater \ 0\\D=\sqrt{(-6)^2-4*1*5}=\sqrt{36-20}=\sqrt{16}=4\\x_1=\frac{6+4}{2}=5\\x_2=\frac{6-4}{2}=1
Оба корня не входят в ОДЗ, отбрасываем. 

Проверка: 
log_2(8-5)+log_2(8-1)\leq log_2(4*8-11)\\log_23+log_27\leq log_2(32-11)\\log_2(3*7)\leq log_221

Ответ: x∈(–∞; 8]
(23.5k баллов)
0

разве логарифм может быть отрицательным?

оставил комментарий (25 баллов)
0

Основание логарифма, а не само значение. Например, у log_{0,2}f(x) основание меньше 1

оставил комментарий (23.5k баллов)
0

я имею в виду log2(3-5)=log2(-2)

оставил комментарий (25 баллов)
0

Показатель логарифма не может быть нулём и отрицательным числом. Нам надо такое число, которое, подставив во все 3 логарифма одновременно, не будет противоречить значению логарифма. Короче говоря, это не может быть число, меньшее пяти, так как, например, выражение "3 – 5" (тройка взята за икс) не больше нуля, а значит противоречит значению логарифма, так как в показателе логарифма всегда должно находится число, большее нуля.

оставил комментарий (23.5k баллов)
0

ну тогда ответ будет (5;8]

оставил комментарий (25 баллов)
Похожие задачи