найдите наибольшее и наименьшее значение функции y =cosx - корень3 sinx ** отрезке [0;1]

Question 1

найдите наибольшее и наименьшее значение функции y =cosx - корень3 sinx на отрезке [0;1]

Question 2

Используем формулу синуса разности:
$y=\cos x-\sqrt3\sin x=2\left(\dfrac12\cos x-\dfrac{\sqrt3}2\sin x\right)=\\=2\left(\sin\dfrac\pi6\cos x-\cos\dfrac\pi6\sin x\right)=-2\sin\left(x-\dfrac\pi6\right)$

Известно, что $\sin x$ возрастает при $x\in[-\pi/2,\pi/2]$ , тогда $\sin(x-\pi/6)$ возрастает при $x\in[-2\pi/3,\pi/3]$ , а $-2\sin(x-\pi/6)$ убывает при $x\in[-2\pi/3,\pi/3]$ .

Так как $\pi=3.1...\ \textgreater \ 3$ , то $\pi/3\ \textgreater \ 1$ , значит, на всём отрезке $[0,1]$ функция y убывает. Тогда максимальное значение она принимает на левом конце отрезка, а минимальное — на правом.
$\max\limits_{x\in [0,1]}y=y(0)=\cos0-\sqrt3\sin 0=1-\sqrt3\cdot0=1\\ \min\limits_{x\in [0,1]}y=y(1)=\cos1-\sqrt3\sin 1$

Question 3

Производная данной функции: $y'=(\cos x- \sqrt{3} \sin x)'=-\sin x-\sqrt{3} \cos x$
Найдем стационарные точки производной функции
$-\sin x-\sqrt{3} \cos x=0~~~|:\cos x\ne 0\\ \\ -tgx-\sqrt{3} =0\\ \\ tgx=-\sqrt{3} \\ \\ x=- \dfrac{\pi}{3} +\pi n,n \in \mathbb{Z}$

Корней из отрезка [0;1] нет.

Найдем теперь наибольшее и наименьшее значение функции на концах отрезка.
$y(0)=\cos 0- \sqrt{3} \sin 0= 1$ - наибольшее
$y(1)=\cos 1- \sqrt{3} \sin 1\approx-0.917$ - наименьшее

nelle987_zn · Answer 1 · 2018-03-11T16:01:15+0000

Используем формулу синуса разности:
$y=\cos x-\sqrt3\sin x=2\left(\dfrac12\cos x-\dfrac{\sqrt3}2\sin x\right)=\\=2\left(\sin\dfrac\pi6\cos x-\cos\dfrac\pi6\sin x\right)=-2\sin\left(x-\dfrac\pi6\right)$

Известно, что $\sin x$ возрастает при $x\in[-\pi/2,\pi/2]$ , тогда $\sin(x-\pi/6)$ возрастает при $x\in[-2\pi/3,\pi/3]$ , а $-2\sin(x-\pi/6)$ убывает при $x\in[-2\pi/3,\pi/3]$ .

Так как $\pi=3.1...\ \textgreater \ 3$ , то $\pi/3\ \textgreater \ 1$ , значит, на всём отрезке $[0,1]$ функция y убывает. Тогда максимальное значение она принимает на левом конце отрезка, а минимальное — на правом.
$\max\limits_{x\in [0,1]}y=y(0)=\cos0-\sqrt3\sin 0=1-\sqrt3\cdot0=1\\ \min\limits_{x\in [0,1]}y=y(1)=\cos1-\sqrt3\sin 1$