1.Сечения шара двумя параллельными плоскостями,между которыми лежит центр шара,имеют...

Question

1.Сечения шара двумя параллельными плоскостями,между которыми лежит центр шара,имеют площади 144 пи и 25 пи.Найдите площадь поверхности шара,если расстояние между параллельными плоскостями равно 17.Ответ:676 пи

2.Сфера проходит через вершины квадрата ABCD ,сторона которого равна 12.Найдите расстояние от центра сферы-точки О до плоскости квадрата,если радиус OD образует с плоскостью квадрата угол ,равный 60 градусов.Ответ:6 умножить на корень квадратный из 6.

3.Стороны треугольника ABC касаются шара.Найдите радиус шара,если AB=8,BC=10,AC=12 и расстояние от центра шара О до плоскости треугольника ABC равно корень квадратный из 2.Ответ:3

4.Чугунное ядро радиусом 1 переплавили в равновеликий конус,образующая которого корень квадратный из 6.Найдите высоту консу,если она не менее 1.

Ответ:2

Answer 1

1)пусть х-расстояние от центра шара до одной из плоскостей, 17-х - расстояние до второй.. Далее по формуле площади круга находятся радиусы сечений 12 и 5, по т. Пифагора 12*2+х*2=R*2 и 5*2+(17-х)*2=R*2. Отсюда х=5, R=13, а S=4пR*2=4п169=676п

 

2) сторона квадрата АВ является хордой =12 см

ОВ=ОА

ΔАОВ равносторонний с основанием 12,

 находим высоту Δ=АВ/2*tg60°=6*√3

 

3)
найдём радиус вписанной окружности

r=S/p , где
p - полупериметр p=(AB+BC+AC)/2

p=(8+10+12)/2=15

S - площадь треугольника S=sqrt(p(p-AB)(p-BC)(p-AC))

S=sqrt(15(15-8)(15-10)(15-12))=15sqrt7 (15 корней из 7)

r=sqrt7

далее рассматриваем прямоугольный треугольник

катет - радиус вписанной окружности (известен )
катет - расстояние от центра шара О до плоскости треугольника АВС (известен)
гипотенуза - радиус шара (найти)

решаем по теореме Пифагора

ответ: радиус шара = 3

4) Решение
1) V (шара) = 4/3 П R³ =4/3 П =V (конуса) = 1/3ПR² Н поэтому R² Н =4
2) Образующая конуса, его высота и радиус основания связаны теоремой Пифагора
R² +Н ² =6
3) Решаем систему из двух уравнений а) R² Н =4 б) R² +Н ² =6 и неравенства в) Н>=1
Ответ Н =2дм