Дан вписанный в окружность прямоугольник. В нем проведена диагональ, разделившая прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника. В один из них этих треугольников вписана окружность.
Стороны прямоугольника 2√3 и 6
-----------------------------------
Найти:
а) радиус описанной вокруг прямоугольника окружности;
Стороны АВ и ВС - катеты треугольника АВС.
Гипотенуза АС - диаметр описанной окружности.
АС=√ (АВ²+ВС²)=√(12+36)=4√2
Радиус АО=1/2 АС=2√3
Обратим внимение, что
АВ=АО=2√3, а так как ВО=АО, то Δ АВО - равносторонний.
Угол ВОА=60°, и оба угла при АВ=60°
б)отношение длины дуг меньшей окружности, разделенных точками касания;
Рассмотрим четырехугольник АаЕк.
Углы из центра Е к точкам касания прямые, угол аАк равен, как мы нашли. 60°.
Следовательно,
угол аЕк равен 120° (360°-90°-90°-60°)
Дуга аЕк =120°.
Дуга аBb =90°, так как угол аВb и углы при точках касания прямые.
Дуга bЕк =360°-120°-90°=150°
Эти три дуги относятся как 90:120:150=3:4:5
в) найти длину и градусную меру обоих дуг AD.
Угол ОАD=ODA=90°-60°=30°.
Следовательно,
угол АОD=120°.
Центральный угол АОD опирается на дугу АеD, которая также равна 120°
Дуга АВСД равна
360°-120°=240°
Градусная мера этих дуг относится как 1:2, следовательно, отношение их длин такое же и дуга АеD=1/3 длины окружности,
дуга АВСD -2/3 дляны описанной вокруг прямоугольника окружности.
С=2πr= 2π2√3=4π√3
Дуга АеD= 4π√3):3
Дуга ABCD=8π√3):3