Решить уравнение с параметром - это значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество корней.
(2x-1)/(x-a)+2x/a=(ax-2)/(a²-ax)
Преобразуем данное дробно-рациональное уравнение.
(2x-1)/(x-a) + 2x/a - (ax-2)/(a²-ax) =0
(2x-1)/(x-a) + 2x/a - (ax-2)/(a(a-x)) =0
(2x-1)/(x-a) + 2x/a + (ax-2)/(a(x-a)) =0
Приведем дроби к общему знаменателю a(x-a):
(a(2x-1) + 2x(x-a) + ax-2)/(a(x-a)) = 0
(2xa - a + 2x² - 2xa +ax - 2)/(a(x-a)) =0
(2x² + ax - a - 2)/(a(x-a)) = 0 (1)
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю.
Но сначала наложим ограничение на значение параметра a и переменной x. Это ограничение следует из того, что знаменатель не должен обращаться в ноль.
a(x-a)≠0
a≠0 (2)
x≠a (3)
Теперь найдем нули выражения:
2x² + ax - a - 2 = 0
D = (a+4)²
x₁,₂= (-a±√(a+4)²)/4 = (-a±|a+4|)/4
x₁=(-a+a+4)/4=1
x₂=(-a-a-4)/4=-(a+2)/2
Нйденные значения переменной x удовлетворяют (3).
Можно проверить найденные корни. Если x₁=1 и x₂=-(a+2)/2 подставить в дробь (1), то дробь обращается в ноль. Т.е. корни найдены верно.
x₁=1 входит в x₂=-(a+2)/2 при a=-4.
Ответ: x=-(a+2)/2, a≠0.