рассмотрим 1 удар
до удара
потенц энергия Еп=mgh
кинет энергия Ек =mv^2/2
по закону сохранения энергии равны Еп=Ек ; mgh =mv^2/2 ; gh =v^2/2 (1)
после удара
потенц энергия Еп1=mgh1
кинет энергия Ек1 =mv1^2/2
по закону сохранения энергии равны Еп1=Ек1 ; mgh1 =mv1^2/2 ; gh1 =v1^2/2 (2)
разделим (1) на (2)
gh / gh1=v^2/2 / v1^2/2
h / h1=v^2 / v1^2
h1 = h (v1/v)^2 считать постоянным, коэффициент восстановления k
h1 = h k^2 (3)
рассмотрим 2 удар
до удара
потенц энергия Еп1=mgh1
кинет энергия Ек1 =mv1^2/2
по закону сохранения энергии равны Еп1=Ек1 ; mgh1 =mv1^2/2 ; gh1 =v1^2/2 (4)
после удара
потенц энергия Еп2=mgh2
кинет энергия Ек2 =mv2^2/2
по закону сохранения энергии равны Еп2=Ек2 ; mgh2 =mv2^2/2 ; gh2 =v2^2/2 (5)
разделим (4) на (5)
gh1 / gh2=v1^2/2 / v2^2/2
h1 / h2=v1^1 / v2^2
h2 = h1 (v2/v1)^2 считать постоянным, коэффициент восстановления k
h2 = h1 k^2 подставим из (3) значение h1 = h k^2
h2 = h k^2 * k^2 = h* ( k^2 )^2 (6)
и так далее
после n -го удара уравнение (6) имеет вид
h(n)= h* ( k^2 )^n = h*k^(2n)