Рассмотрим уравнение 3x-5y=13. Найдем множество целых решений этого уравнения.
1) 3x=5y+13=3(y+4)+2y+1
Так как левая часть кратна 3, то и правая часть должна быть кратна 3. Поэтому 2y+1 кратно 3. Пусть 2y+1=3a, a∈Z
2) 2y=3a-1=2a+a-1. Левая часть кратна 2, правая тоже должна быть кратна 2. Поэтому a-1 кратно 2. Пусть a-1=2b, b∈Z
3) a=2b+1. Ограничений на левую часть нет, поэтому можно вернуться к старым переменным:
2y+1=3a => 2y+1=3(2b+1) => 2y=6b+2 => y=3b+1
3x=5y+13 => 3x=5(3b+1)+13 => 3x=15b+18 => x=5b+6.
Получили решение в целых числах (5b+6; 3b+1), b∈Z
Подставим любое целое число вместо b и получим одно из решений, удовлетворяющих исходному уравнению.
Например, b=0 => (6;1)
b=1 => (11;4)
b=-1 => (1;-2)