Здесь a[n] - количество точек с целыми координатами (s,t), лежащих внутри круга радиуса n и вне вписанного в этот круг квадрата со стороной n√2. Каждой такой целой точке сопоставим единичный квадрат со стороной 1, у которого, допустим, левая нижняя вершина совпадает с нашей точкой. Понятно, что количество целых точек а[n] приблизительно равно площади нашей фигуры состоящей из четырех сегментов. И ясно, что предел тогда равен (πn²-2n²)/n²=π-2.
Теперь докажем это строго. Т.к. единичные квадратики могут выступать за круг не более чем на расстояние равное диагонали квадратика, т.е. на √2, то а[n] не превосходит площади увеличенной фигуры: площади круга радиусом n+√2 минус площадь уменьшенного квадрата со стороной (n-2)√2 (на рисунке это фигура между синими линиями). Поэтому a[n]≤π(n+√2)²-((n-2)√2)². Значит искомый предел меньше или равен lim (π(n+√2)²-((n-2)√2)²)/n²=π-2.
Аналогично получим оценку снизу. Для достаточно большого n, впишем в нашу фигуру меньшей площади, отстояющую от границ исходной фигуры на расстояние √2. Она образована пересечением круга радиуса n-√2 и внешностью квадрата с увеличенной стороной (n+2)√2 (на рисунке это красный сегмент). Тогда количество целых точек в исходной фигуре больше площади этой, т.е. a[n]≥π(n-√2)²-((n+2)√2)². Значит и
lim a[n]/n²≥lim (π(n-√2)²-((n+2)√2)²)/n²=π-2. Значит искомый предел равен π-2.
На рисунке изображено как это все выглядит. Я изобразил только один сегмент из четырех, чтобы были влезли линии сетки. Количество целых точек в черном сегменте не больше площади области между синими линиями и не меньше площади красного сегмента. Т.к. приращения площадей у синего и красного малы по сравнению с площадью черного (они пропорциональны линейным размерам фигур, т.е. пропорциональны n, а площадь черной фигуры растет как n²), то отношение a[n]/n² и отношения площадей красного сегмента и синего к n² совпадают.
