В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса AD и медиана CE, а точки K и L...

Question

В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса AD и медиана CE, а точки K и L являются проекциями на сторону АС точек D и E соответственно, причем АК=4КС, AL=3/7 LC
a) Докажите, что AB=AC
б) Найдите отношение AD/CE

Answer 1

Проведем высоту BH и обозначим KC=x, LC=y. Тогда AK=4x, AC=AK+KC=5x, AL=3y/7, 5x=y+3y/7 откуда y=LC=7x/2, AL=3x/2, AH=2AL=3x (т.к. EL - ср. линия тр. ABH), KH=AK-AH=4x-3x=x=KC, значит BD=DC (т.к. DK||BH), т.е. AD - медиана и биссектриса, т.е AB=AC=5x.

EL=DK=√(AE²-AL²)=√((5x/2)²-(3x/2)²)=2x (т.к. ED - ср. линия ABC)
AD=√(AK²+DK²)=√((4x)²+(2x)²)=2x√5
CE=√(LC²+EL²)=√((7x/2)²+(2x)²)=(x√65)/2
AD/CE=4/√13.