Найти все пары натуральных чисел (х;у) удовлетворяющих уравнению 2ху+3у^2=24

$2xy+3y^2=24\\\\2xy=24-3y^2\\\\x= \frac{24-3y^2}{2y} =\frac{12}{y}-\frac{3}{2}\cdot y$

Переменная х будет натуральным числом, если у является делителем числа 12 , т.к. дробь 12/у должна давать натуральное число. Кроме того, у должно делиться на 2, то есть у -чётное число, т.к. в этом случае дробь (3у)/2 будет давать натуральное число .
В таком случае ищем у среди чисел 2 , 4 , 6 , 12 .

$y=2\; \; \to \; \; x= \frac{24-3\cdot 4}{4} =3\; \in N\\\\y=4\; \; \to \; \; x= \frac{24-3\cdot 16}{8} =-3\ \textless \ 0\; \notin N\\\\y=6\; \; \to \; \; x= \frac{24-3\cdot 36}{12} =-7\ \textless \ 0\; \notin N\\\\y=12\; \; \to \; \; x= \frac{24-3\cdot 144}{24} =-17\ \textless \ 0\; \notin N$

Ответ: (3,2) .

3y^2 < 2xy+3y^2 = 24,
3y^2<24,<br>y^2<24/3 = 8,<br>y< $\sqrt{8}$ ,
кроме того, x и y натуральные, поэтому x>=1 и y>=1.
1<=y< <img src="https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7B8%7D+" id="TexFormula2" title=" \sqrt{8} " alt=" \sqrt{8} " align="absmiddle" class="latex-formula">,
$\sqrt{8}<2,9$
(докажем это строго, т.к. обе части этого неравенства положительны, а квадрат - это строго возрастающая функция на положительной полуоси, то
$\sqrt{8} < 2,9;$ , <=> $8< (2,9)^2 = 8,41$ , верное неравенство, значит и исходное неравенство в силу равносильности тоже верное)
1<=y<2,9;<br>Возможные варианты только y=1 или y=2.
1) y=1, подставляем это в исходное уравнение, получаем
2x+ 3 = 24, <=> 2x=24-3 = 21, <=> x = 21/2, и икс не является натуральным. Поэтому случай y=1 не годится.
2) y=2, подставляем в исходное уравнение,
2x*2 + 3*(2^2) = 24, <=> 4x+12 = 24, <=> 4x=24-12 = 12, <=> x=12/4 = 3.
Ответ. x=3 и y=2.