Помогите пожалуйста, доказать тождество

$\cos \alpha +\cos3 \alpha +\sin \alpha +\sin3 \alpha =2\cos \alpha \cos3 \alpha +2\sin2 \alpha \cos \alpha =\\=2\cos \alpha (\cos2 \alpha +\sin2 \alpha )=2\cos \alpha \cdot \sqrt{2} \sin( \frac{ \pi }{4} + \alpha )$

Формула
$a\sin \alpha \pm b\cos \alpha = \sqrt{a^2+b^2} \sin ( \alpha \pm \arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} } )$