Не проснувшийся вовремя:
Не проснувшийся пишется раздельно, потому что есть зависимое слово.
Вовремя пишется слитно, когда в предложении употребляется наречием. Раздельно, когда в предложении употребляется существительным.
Несмотря на засуху:
Несмотря пишется раздельно, когда имеет значение "не обращая внимания"