Найти значение функции в точке максимума.

По просьбе Nelle987

$\displaystyle y=5^{log_5{(x+4)-log_{ \frac{1}{5}}( \frac{x^3-9x}{x+4})}}}$

ОДЗ:

$\displaystyle \left \{ {{ \frac{x^3-9x}{x+4}\ \textgreater \ 0 } \atop {x+4\ \textgreater \ 0}} \right.$

$\left \{ {{x\ \textgreater \ -4} \atop {x:(-oo;-4)(-3;0)(3;+oo)}} \right. x:(-3;0)(3;+oo)$

преобразуем показатель степени

$\displaystyle log_5(x+4)-log_{5^{-1}}( \frac{x^3-9x}{x+4})=log_5(x+4)+log_5( \frac{x^3-9x}{x+4})=$

$\displaystyle =log_5(x+4)* \frac{x^3-9x}{x+4}=log_5(x^3-9x)$

$\displaystyle 5^{log_5(x^3-9x)}=x^3-9x$

Найдем производную

$\displaystyle (x^3-9x)`=3x^2-9$

Найдем критические точки

$\displaystyle 3x^2-9=0 3x^2=9 x^2=3 x_1= \sqrt{3} x_2=- \sqrt{3}$

___+_________-___________+____
-√3 √3

Значит функция на промежутке (-3;0) имеет максимум х=-√3
а на промежутке (3;+oo) , бесконечно возрастает

А значит найти максимум функции на всей области определения невозможно

значение в y(-√3)=6√3