N^3+35n = n(n^2+35)=n(n^2-1+36)=n(n^2-1)+36n=(n-1)n(n+1)+36n.
1) 36n кратно 6 при любых натуральных n
2) (n-1)n(n+1) - произведение трех последовательных целых чисел. Следовательно, какая-нибудь из скобок будет делиться на 3 и какая-нибудь будет делиться на 2. Так как 2 и 3 взаимно простые числа, то все произведение будет делиться на 2*3=6.
Так как каждое из слагаемых кратно 6, то и их сумма кратна 6, ч.т.д.