Какие из функция являются чечтными и нечетными

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Для того, что бы функция могла оказаться четной или не четной необходимо, что бы ее область определения была симметричной относительно начала координат

Далее, если это так, область определения симметрична, то если
выполняется $f(-x)=f(x)$ , то функция является четной - симметричной относительно оси ОУ
если же $f(-x)=-f(x)$ , то функция является нечетной - симметричной относительно начала координат
если же ни то и не другое, то функция и не четная и не нечетная
------------------------------------------------------------------------------------------

1
Область определения:
$\left \{ {{x^8 \geq 0} \atop {x^4+|x| \neq 0}} \right. ;x^4+|x| \neq 0;$
два случая:
а)
$\left \{ {{x \geq 0} \atop {x^4+x \neq 0}} \right. ; \left \{ {{x \geq 0} \atop {x(x^3+1) \neq 0}} \right. ; \left \{ {{x \geq 0} \atop {x(x+1)(x^2-x+1) \neq 0}} \right. ; \left \{ {{x \geq 0} \atop {x(x+1) \neq 0}} \right. ;$
было сделано сокращение на $x^2-x+1$ , поскольку не найдется действительного значения для $x$ , при котором это выражение станет равным нулю.
$\left \{ {{x \geq 0} \atop {x \neq 0,or,x \neq -1}} \right. ;$
итого $x \neq 0,or,x \neq -1$

б) $\left \{ {{x\ \textless \ 0} \atop {x^4-x \neq 0}} \right. ; \left \{ {{x\ \textless \ 0} \atop {x(x-1)(x^2+x+1) \neq 0}} \right. ; \left \{ {{x\ \textless \ 0} \atop {x(x-1) \neq 0}} \right. ; \left \{ {{x\ \textless \ 0} \atop {x \neq 0,or,x \neq 1}} \right. ;$
итого $x \neq 1$

Объедения два случая получаем область определения: $x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty)$ , которая оказывается симметричной

Значит продолжаем исследовать функцию:
$f(-x)= \frac{7}{(-x)^4+|-x|}+4 \sqrt{(-x)^8} = \frac{7}{x^4+|x|}+4 \sqrt{x^8}=f(x)$

Функция оказалась четной

----------------------------------------------

$f(x)=x^3+ \frac{x^5-x^3}{x^4+1}$ - ее область определения - это все действительные числа, т.е. это симметричный относительно начала координат интервал

продолжаем исследование:
$f(-x)=(-x)^3+ \frac{(-x)^5-(-x)^3}{(-x)^4+1}= -x^3+ \frac{-x^5+x^3}{x^4+1}= -(x^3+ \frac{x^5-x^3}{x^4+1})=-f(x)$
функция оказалась не четной.

90misha90_zn (30.4k баллов) 30 Апр, 18