Зависимость пройденного телом пути sот времени t выражается уравнением s = At - Bt2 + Ct3...

Question

362 просмотров

Зависимость пройденного телом пути sот времени t выражается уравнением s = At - Bt2 + Ct3 (A= 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени t = 2 с после начала движения 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение.

Физика Anzikart_zn (12 баллов) 30 Апр, 18 | 362 просмотров

Дан 1 ответ

oleg16_zn · Answer 1 · 2018-04-29T22:00:08+0000

Условимся, что рассматриваем прямолинейное движение.
Обратимся к определениям:

1. Мгновенная скорость определяется как производна от координаты по времени $v = \frac{ds}{dt}$
2. Ускорение определяется как производная от скорости по времени или же, что тоже самое, вторая производная от координаты по времени $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$

Правила дифференцирования следующие:
1. $\frac{d}{dt} (aX+bY) = a \frac{dX}{dt} + b \frac{dY}{dt}$
Здесь X и Y - величины зависящие от времени. a и b - постоянные числа.
2. $\frac{d}{dt} (t^n) = nt^{n-1}$
3. Производная от константы равна нулю.

Найдём скорость:
$v = A - 2Bt + 3Ct^2$
Найдём ускорение:
$a = -2B + 6Ct$

При t = 2:
s(2) = 2*2 - 3*4 + 4*8 = 4 -12 +32 = 24 м // это координата, а не путь
v(2) = 2 - 2*3*2 +3*4*4 = 2 - 12 + 48 = 38 м/с
a(2) = -2*3 +6*4*2 = -6 +48 = 42 м/с²

Что касается пройденного пути.
v(0) = 2 м/с
Уравнение v = 2 -6t +12t² описывает параболу. Вершина параболы при t = 1\4. Скорость при этом равна v = 5/4 > 0.

Т.е. скорость положительна при любом значении времени и тело не меняло направление движения.

Следовательно значение координаты s(2) совпадает с пройденным путём.

Замечание:
Всегда следует различать координату тела и пройденный им путь.
Пример: $s = Asin( 2\pi t)$
Какой путь тело пройдёт за t = 0.5 или t = 1?
При t = 0.5 s = sin(π) = 0. Тем не менее оно прошло путь 2A (отклонилось на A и вернулось обратно).