Докажите что среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами наибольшую площадь...

Расмотрим прямоугольник, полученный из квадрата со стороной а.
Чтоб сохранить периметр, равный 4а, мы из одной стороны вычтем параметр х, а к другой прибавим. Згачение параметра х может быть от 0 до а. Таким образом мы можем получить все множество прямоугольников с данным фиксированным периметром.

$p=(a-x+a+x) \cdot 2=2a \cdot 2=4a \\ S=(a-x) \cdot (a+x)=a^2-x^2$
Максимальное значение площади S будет при значении параметра х равном 0 (квадрат любого действительного числа больше или равен 0)