Вычисление неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования. 1. 2. 3....

Question 1

Вычисление неопределенных интегралов методом непосредственного интегрирования.

1. $\int{\frac{x^3-3x^2+4x-2}{x}}\, dx$

2. $\int{x^2(1+4x)}\, dx$

3. $\int{(2x-\frac{1}{cos^2x}+sinx)}\, dx$

4. $\int{(\frac{2sin^2x+1}{sin^2x})}\, dx$

5. $\int{tg^2x}\, dx (tg^2x+1=\frac{1}{cos^2x}$

6. $\int{\frac{dx}{9+x^2}}\,$

7. $\int{4\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[4]{x}}\, dx$

Желательно расписать само решение подробно.

Question 2

Решите задачу:

$1\;\int{\frac{x^3-3x^2+4x-2}{x}}\, dx=\int\left(\frac{x^3}x-\frac{3x^2}x+\frac{4x}x-\frac{2}x\right)dx=\\ =\int\left(x^2-3x+4-\frac2x\right)dx=\int x^2dx-3\int xdx+4\int dx-2\int\frac1xdx=\\ =\frac{x^3}3-\frac{3x^2}2+4x-2\ln|x|+C$

$2\;\int{x^2(1+4x)}\, dx=\int(x^2-4x^3)dx=\int x^2dx-4\int x^3dx=\\ =\frac{x^2}2-x^4+C$

$3.\;\int{(2x-\frac{1}{\cos^2x}+\sin x)}\, dx=2\int xdx-\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int\sin xdx=\\ =x^2-\frac{\sin x}{\cos x}-\cos x+C=x^2-tgx-\cos x+C$

$4\;\int{\left(\frac{2\sin^2x+1}{\sin^2x}\right)}\, dx=\int\left(2+\frac1{\sin^2x}\right)dx=\\ =2\int dx+\int\frac{dx}{\sin^2x}=2x-\frac{\cos x}{\sin x}=2x-ctgx+C$

$5\;\int{tg^2x}\, dx=\int\left(\frac1{\cos^2x}-1\right)dx=\int\frac{dx}{\cos^2x}-\int dx=\\ =\frac{\sin^2x}{\cos^2x}-x+C=tgx-x+C$

$6\;\int{\frac{dx}{9+x^2}}\,=\int{\frac{dx}{3^2+x^2}}\,=\frac13arctg\frac x3+C$

$7\;\int4\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt[4]{x}}dx=4\int\sqrt[3]{x^2}dx-3\int\sqrt xdx+2\int\frac{dx}{\sqrt[4]{x}}=\\ =4\int x^{\frac23}dx-3\int x^{\frac12}dx+2\int x^{-\frac14}dx=\\=4\cdot\frac35x^\frac53-3\cdot\frac23x^\frac32+2\cdot\frac43x^\frac34+C =\frac{12}5\sqrt[3]{x^5}-2\sqrt{x^3}+\frac83\sqrt[4]{x^3}+C$