Помогите пожалуйста 22 номер! Ответ должен быть -2. даю 20 баллов!

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$( \frac{1}{6} )^x+( \frac{1}{8} )^x= (\frac{1}{10})^x$

Умножим обе части уравнения на величину $10^x$ , которая ни при каких $x$ не обращается в нуль. В результате получим равносильное уравнение:

$10^x*[( \frac{1}{6} )^x+( \frac{1}{8} )^x]=1$

$( \frac{10}{6} )^x+( \frac{10}{8} )^x=1$

$( \frac{5}{3} )^x+( \frac{5}{4} )^x=1$

$( \frac{5}{3} )^x=1-( \frac{5}{4} )^x$

функционально-графический метод, легко заметить, что функция $( \frac{5}{3} )^x$ монотонна растет на все области действительных чисел, а функция $1-( \frac{5}{4} )^x$ монотонно убывает, что означает, что их графики пересекутся лишь в одной точке.

(левая и правая части уравнений - функции противоположных монотонностей)

Теперь, как стало известно, что решение существует одно, достаточно будет найти его любым способом вплоть до угадать.

По скольку $( \frac{5}{3} )^x \geq 0$ при любом действительном значении $x$ , и по скольку $-( \frac{5}{4} )^x \leq 0$ и легко видеть, что $1-( \frac{5}{4} )^x$ проходит через начало координат, то искомый корень находится на промежутке отрицательных действительных чисел (отрицательный показатель заставит перевернутся дроби).

Т.е. пусть $x=-y$ , где $y\ \textgreater \ 0$
тогда:

$( \frac{5}{3}) ^{-y}=1-( \frac{5}{4} )^{-y}$

$( \frac{3}{5}) ^{y}=1-( \frac{4}{5} )^{y}$

$\frac{3^y}{5^y}=\frac{5^y-4^y}{5^y}$

нам нужно, что бы числители, к примеру, совпали.
на ум приходит пифагорская тройка: $3,4,5$

для которой выполняется: $5^2=3^2+4^2$ , т.е.

$5^2-4^2=3^2$

вот мы и угадали, что $y=2$
тогда $x=-2$

Ответ: $-2$

90misha90_zn (30.4k баллов) 30 Апр, 18