1.
а) Треугольники ВРТ и ТСД подобны как имеющие 2
равных угла: по одному вертикальному и другому накрест лежащему при
параллельных прямых и секущей.
Пусть стороны АР и РТ
равны х.
2х^2 = 4^2.
x = √8 = 2√2.
Отрезки АВ и РТ равны
соответственно 2√2/4 = √2/2 и 2√2*3/4 = 3√2/2.
ТД = АВ =√2/2, РТ = РВ =
3√2/2
Коэффициент подобия равен 1/3.
Отношение площадей равно квадрату коэффициента
подобия 1/9.
б) Боковая сторона АВ параллелограмма
равна √2/2.
Высота параллелограмма равна АВ*sin45
= (√2/2)*(√2/2) = 2/4 = 1/2.
Площадь равна 4*(1/2) = 2.
в) Фигура АВТД - трапеция.
Из подобия треугольников АРД и ВРТ находим ВТ = (3/4)*4
= 3.
Отрезок, соединяющий середины АВ и ТД - это средняя
линия. Она равна (4+3)/2 = 3,5.
г) Точки А,В,Т и Д - вершины равнобедренной
трапеции.
Трапеция может быть вписана в окружность в том и только в том случае, когда она
равнобедренная.
Поэтому через заданные точки можно провести
окружность.
д) Вектор АВ = АС + СВ = -СА+(4/3)ТВ.
е) Синус угла САД равен
отношению высоты параллелограмма к диагонали АС.
Проекция стороны СД на
основание равна высоте и равна 1/2.
Тогда АС = √((1/2)^2+(4+(1/2))^2)
= √82/2.
Синус угла САД равен
(1/2)/( √82/2) = 1/√82.
ж) Углы треугольника ВРТ
равны: два по 45 градусов и 90 градусов.
Дуга окружности,
вписанной в этот треугольник, между точками касания равна 180 минус угол треугольника.
Дуги против углов В и Т
равны 180 – 45 = 135 градусов.
Против угла Р: 180 – 90 = 90 градусов.
2. Отрезок, меньший
против заданного в √3 раз, - это катет прямоугольного треугольника, находящийся
против угла в 30 градусов.
Построение: отложить
заданный отрезок. С одного конца его восстановить перпендикуляр, а с другого
конца провести прямую под углом в 30 градусов.
В точке пересечения
перпендикуляра и будет нужный отрезок.