Найдите наименьшее значение х^2+4ху+4у^2+1

$x^2+4xy+4y^2+1=(x)^2+2*x*2y+(2y)^2+1=(x+2y)^2+1.$
$(x+2y)^2 \geq 0$ при любых действительных x и y.
Т.е. минимальное значение $(x+2y)^2$ это 0, при условии, что $x=-2y.$
Значит минимальное значение исходного выражения $1$ .

Ответ: 1.