ОБА варианта верны.
1) Mother`s bag- здесь использован притяжательный падеж. Существительное Mother`s стоит в притяжательном падеже, отвечает на вопрос чей?чья?=сумка чья?=мамы=мамина сумка
Необходимо помнить, что существует ещё конструкция с предлогом of, которую можно использовать ВМЕСТО притяжательного падежа. Она полностью заменяет существительное в притяжательном падеже. Данный предлог соответствует родительному падежу в русском языке и отвечает на вопрос кого? чего?
2) Bag of mother=сумка кого?=мамы=мамина сумка
Дополнение к ответу: с предлогом of употребляются ЛЮБЫЕ существительные(и одуш. и неодуш)