Помогите с вычислить предел подробно пожалуйста

$\lim_{n\to\infty}{x_n},\\\\x_n=\frac{1+2+\ldots+n}{n^2},$

$\lim_{n\to\infty}{\frac{1+2+\ldots+n}{n^2}}=\left(\frac{\infty}{\infty}\right)$ — неопределённость Лопиталя. Его теорема утверждает, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Значит:

$\lim_{n\to\infty}{\frac{1+2+\ldots+n}{n^2}}=\left(\frac{\infty}{\infty}\right)=\lim_{n\to\infty}{\frac{\left(1+2+\ldots+n\right)'}{\left(n^2\right)'}}=\lim_{n\to\infty}{\frac{n'}{\left(n^2\right)'}}=\\\\=\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{2n}}=\left(\frac{1}{\infty}\right)=\left(\frac{c}{\infty}\right)=0.$

По соглашениям предел вида $\frac{c}{\infty}\right)$ , где $c\ -\ const$ , равен 0.