Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в...

0 голосов
22 просмотров

Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в треугольник круга равен r, а описанного - R.

Геометрия (4.9k баллов) | 22 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ
Прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По теореме Пифагора:
a^2+b^2=c^2
Зная, что гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, запишем:
a^2+b^2=(2R)^2 \\\ a^2+b^2=4R^2
Добавим к обеим частям неравенства слагаемое 2аb и преобразуем его в правой части:
a^2+b^2+2ab=4R^2+ 2ab \\\ a^2+b^2+2ab=4R^2+ \frac{4ab}{2}
Так как площадь прямоугольного треугольник равна половине произведения его катетов, то:
(a+b)^2=4R^2+4S \\\ a+b=2 \sqrt{ R^2+S}
Зная, что площадь треугольника равна половине произведения его периметр на радиус вписанной окружности, получим:
S= \frac{a+b+c}{2}\cdot r
Подставим вместо а+b и с известные выражения:
S= \frac{2 \sqrt{ R^2+S}+2R}{2}\cdot r
Выполняем преобразования:
\frac{S}{r} = \sqrt{ R^2+S}+R \\\ \frac{S}{r} -R= \sqrt{ R^2+S} \\\
Возведем обе части в квадрат:
\frac{S^2}{r^2}- \frac{2SR}{r} +R^2 =R^2+S
R² взаимно уничтожается, сокращаем на S:
\frac{S}{r^2}- \frac{2R}{r} =1
Домножаем на r:
S-2Rr =r^2 \\\ \Rightarrow S=2Rr+r^2=r(2R+r)=r(D+r)
Площадь прямоугольного треугольника равна сумме удвоенного произведения радиусов вписанной и описанной окружности и квадрата радиуса вписанной окружности. (Или: площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на сумму его же с диаметром описанной окружности)
Ответ: 2Rr+r²
(271k баллов)
0 голосов

Для решения данной задачи воспользуемся такой теоремой:

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника, делит гипотенузу пополам.

Тогда имеем прямоугольный треугольник со сторонами:

a

b

c=2R

Исходя из того что треугольник прямоугольный находим катеты:

a^2+b^2=c^2=4R^2

Так как площадь прямоугольного треугольника равна: S=\frac{ab}{2}

получаемab=2S

тогда(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+4S=4R^2+4S

Получаем:

a+b=\sqrt{4R^2+4S}

Зная, что площадь равна: S=pr=\frac{(a+b+c)}{2}*r

Получаем:a+b+c=\frac{2S}{r}

тогда получаем:

a+b=\sqrt{4R^2+4S}

Прибавимcс обеих сторон:

a+b+c=\sqrt{4R^2+4S}+c

т.кc=2RПолучаем:

a+b+c=\sqrt{4R^2+4S}+2R

так какa+b+c=\frac{2S}{r}

получаем:

\sqrt{4R^2+4S}+2R=\frac{2S}{r}

\sqrt{4R^2+4S}=\frac{2S}{r}-2R

4R^2+4S=(\frac{2S}{r}-2R)^2

4R^2+4S=\frac{4S^2}{r^2}-\frac{8SR}{r}+4R^2

4S=\frac{4S^2}{r^2}-\frac{8SR}{r}

Делим все на4S:

1=\frac{S}{r^2}-\frac{2R}{r}

r^2=S-2Rr

Откуда получаем:

S=r^2+2Rr

Ответ:S=r^2+2Rr

(9.1k баллов)
Похожие задачи