Срочно решите под римской цифрой один,желательно в тетради решите и сфоткайте, за ранее...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Площадь данной фигуры (cм. приложение) равна сумме площадей двух участков, образуемых функцией и прямыми $y=0,\ x=-2,\ x=1$ : $S=S_1+S_2.$ Площади $S_1$ и $S_2$ равны определённым интегралам функции с пределами интегрирования соответственно $1,\ x_1,$ и $x_1,\ -2$ ,
где $x_1$ — наименьший корень функции $-x^2+4x+2=0.$
Поскольку площадь $S_2$ лежит ниже оси абсцисс её определённый интеграл берём со знаком $"-".$

$D=4^2-4\cdot(-1)\cdot2=16+8=24,\\\\x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{-2}=\frac{-4\pm2\sqrt6}{-2}=2\mp\sqrt6,\\\\x_{1}=2-\sqrt6.$

$S_1=\int\limits^1_{2-\sqrt6} {\left(-2x^2+4x+2\right)} \, dx = \int\limits^1_{2-\sqrt6} {-x^2} \, dx+ \int\limits^1_{2-\sqrt6} {4x} \, dx + \int\limits^1_{2-\sqrt6} {2} \, dx =\\\\=-\int\limits^1_{2-\sqrt6} {x^2} \, dx+ 4\int\limits^1_{2-\sqrt6} {x} \, dx + 2\int\limits^1_{2-\sqrt6} {} \, dx =\\\\=-\left(\frac{x^3}{3}\right)\left|^1_{2-\sqrt6}+4\left(\frac{x^2}{2}\right)\left|^1_{2-\sqrt6}+2x\left|^1_{2-\sqrt6}=$
$=-\frac{1}{3}\left(x^3\right)\left|^1_{2-\sqrt6}+\frac{4}{2}\left(x^2\right)\left|^1_{2-\sqrt6}+2x\left|^1_{2-\sqrt6}=$
$=-\frac{1}{3}\left(1^3-\left(2-\sqrt6\right)^3\right)+\frac{4}{2}\left(1^2-\left(2-\sqrt6\right)^2\right)+2\left(1-\left(2-\sqrt6\right)\right)\left=$
$=-\frac{1}{3}\left(1-\left(2^3-3\cdot2^2\sqrt6+3\cdot2\left(\sqrt6\right)^2-\left(\sqrt6\right)^3\right)\right)+\\\\+2\left(1-\left(2^2-4\sqrt6+\left(\sqrt6\right)^2\right)\right)+2\left(1-\left(2-\sqrt6\right)\right)\left=$
$=-\frac{1}{3}\left(1-\left(8-12\sqrt6+36-6\sqrt6\right)\right)+2\left(1-\left(4-4\sqrt6+6\right)\right)+\\\\+2\left(1-2+\sqrt6\right)\left=$
$=-\frac{1}{3}\left(1-\left(44-18\sqrt6\right)\right)+2\left(1-\left(10-4\sqrt6\right)\right)+2\left(-1+\sqrt6\right)=\\\\=-\frac{1}{3}\left(1-44+18\sqrt6\right)+2\left(1-10+4\sqrt6\right)-2+2\sqrt6=\\\\=-\frac{1}{3}\left(-43+18\sqrt6\right)+2\left(-9+4\sqrt6\right)-2+2\sqrt6=\\\\=\frac{43}{3}-\frac{18\sqrt6}{3}-18+8\sqrt6-2+2\sqrt6=\\\\=\frac{43}{3}-6\sqrt6}-20+10\sqrt6=\frac{43}{3}-20+4\sqrt6=4\sqrt6+\frac{43-60}{3}=\\\\=4\sqrt6+\frac{-17}{3}=4\sqrt6-\frac{17}{3}.$

$S_2=-\int\limits^{2-\sqrt6}_{-2} {\left(-2x^2+4x+2\right)} \, dx =\int\limits^{2-\sqrt6}_{-2} {\left(2x^2-4x-2\right)} \, dx=\\\\=\int\limits^{2-\sqrt6}_{-2} {x^2} \, dx-4\int\limits^{2-\sqrt6}_{-2} {x} \, dx-2\int\limits^{2-\sqrt6}_{-2} {} \, dx=$
$=\frac{x^3}{3}\left|^{2-\sqrt6}_{-2}-\frac{4x^2}{2}\left|^{2-\sqrt6}_{-2}-2x\left|^{2-\sqrt6}_{-2}=\frac{1}{3}x^3\left|^{2-\sqrt6}_{-2}-2x^2\left|^{2-\sqrt6}_{-2}-2x\left|^{2-\sqrt6}_{-2}=$
$=\frac{1}{3}\left(\left(2-\sqrt6\right)^3-\left(-2\right)^3\right)-2\left(\left(2-\sqrt6\right)^2-\left(-2\right)^2\right)}-2\left(2-\sqrt6-(-2)\right)=$
$=\frac{1}{3}\left(2^3-3\cdot2^2\sqrt6+3\cdot2\left(\sqrt6\right)^2-\left(\sqrt6\right)^3-(-8)\right)-\\\\-2\left(2^2-2\cdot2\sqrt6+\left(\sqrt6\right)^2-\left(-2\right)^2\right)}-2\left(2-\sqrt6-(-2)\right)=$
<img src="https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cleft%288-12%5Csqrt6%2B36-6%5Csqrt6%2B8%5Cright%29-%5C%5C%5C%5C-2%5Cleft%284-4%5Csqrt6%2B6-4%5Cright%29%7D-2%5Cleft%2

Apofeoz_zn (11.7k баллов) 30 Апр, 18