Проведем доказательство от противного. Допустим, что √3 рациональное число, то есть представляется в виде несократимой дроби mn, где m и n - целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
√3=mn⇒3=m2n2⇒m2=3n2.
Отсюда следует, что m2 кратно 3, значит, и m кратно 3 (если бы целое m не было кратно 3, то и m2 не было бы кратно 3). Пускай m=3r, где r - целое число. Тогда
(3r)2=3n2⇒9r2=3n2⇒n2=3r2
Следовательно, n2 кратно 3, значит, и n кратно 3. Мы получили, что m и n кратны 3, что противоречит несократимости дроби mn. Значит, исходное предположение было неверным, и √3 — иррациональное число.