Исследовать сходимость: смотрите фото во вложении...

Question 1

Исследовать на сходимость:
смотрите на фото во вложении ...............................................

Question 2

$1)\quad \sum \limits _{n=1}^{\infty } \frac{(n+1)!}{5^{n}\cdoty n^2} \\\\\lim\limits _{n\to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim\limits _{n \to \infty} \frac{(n+2)!}{5^{n+1}\cdot (n+1)^2} \cdot \frac{5^{n}\cdot n^2}{(n+1)!} = \lim\limits _{n \to \infty}\left (\frac{(n+1)!(n+2)}{5(n+1)!} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} \right )=\\\\= \lim\limits _{n \to \infty} \left ( \frac{n+2}{5} \cdot 1\right )=\infty \ \textgreater \ 1\; ,\; \; \; rasxoditsya$

$2)\quad \sum \limits _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n\cdot ln(3n)}$

Признак Лейбница.

$|a_{n}|=\frac{1}{n\cdot ln(3n)}\\\\a)\; \; \frac{1}{1\cdot ln3}\ \textgreater \ \frac{1}{2\cdot ln6} \ \textgreater \ \frac{1}{3\cdot ln9} \ \textgreater \ \cdots \ \textgreater \ \frac{1}{n\cdot ln(3n)} \ \textgreater \ \cdots$

$\Rightarrow \; \; \; |a_1|\ \textgreater \ |a_2|\ \textgreater \ |a_3|\ \textgreater \ \cdots \ \textgreater \ |a_{n}|\ \textgreater \ \cdots$

$b)\; \; \lim\limits _{n \to \infty} |a_{n}|= \lim\limits _{n \to \infty} \frac{1}{n\cdot ln(3n)} =[\, \frac{1}{\infty } \, ]=0$

Ряд сходится, причём условно, так как Ряд, составленный из модулей расходящийся ( можно проверить по интегральному признаку сходимости).

$3)\quad \sum \limits _{n=1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n\sqrt{3n+1}} \\\\ \lim\limits _{n \to \infty} \frac{|u_{n+1}|}{|u_n |}= \lim\limits _{n \to \infty} \left (\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)\sqrt{3n+4}}\cdot \frac{n\sqrt{3n+1}}{|x|^{n}} \right )= \\\\= \lim\limits _{n \to \infty} (|x|\cdot 1)=|x|\ \textless \ 1\\\\-1\ \textless \ x\ \textless \ 1\\\\x=1\; \; \Rightarrow \; \; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\sqrt{3n+1}}\; \; -\; \; sxoditsya,\; t.k.\; \frac{1}{n\sqrt{3n+1}} \ \textless \ \frac{1}{n^{3/2}} \; ,\\\\a\; \ \sum\frac{1}{n^{3/2}}\; \; garmonicheskij\; sxod.\; ryad$

$x=-1\; \; \Rightarrow \; \; \; \sum\limits _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n\sqrt{3n+1}} \; -\; \; absolutno\; sxod.\\\\-1 \leq x \leq 1\; \; \; \Rightarrow \\\\oblast\; sxodimosti\; \; :x\in [-1;1\, ]$

Исследовать ** сходимость: смотрите ** фото во вложении...

Исследовать сходимость: смотрите фото во вложении...