Производная равна 3*x^2-6*x-9.
Приравняем её нулю и найдём критические точки.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-6)^2-4*3*(-9)=36-4*3*(-9)=36-12*(-9)=36-(-12*9)=36-(-108)=36+108=144;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√144-(-6))/(2*3)=(12-(-6))/(2*3)=(12+6)/(2*3)=18/(2*3)=18/6=3;
x_2=(-√144-(-6))/(2*3)=(-12-(-6))/(2*3)=(-12+6)/(2*3)=-6/(2*3)=-6/6=-1.
Второй корень не входит в заданный промежуток.
Определяем свойство производной в точке х=3.
х = 2
3
4
y' =
-9
0 15.
Производная меняет знак с минуса на плюс - это минимум функции.
Она равна 3³-3*3²-9*3+31 = 27-27-27+31 = 4.
Ответ: наименьшее значение функции y=x³-3x²-9x+31
на отрезке [0;4] равно 4.