Подставлял единичку-решается. не могу понять как вывести формулу,которая докажет, что для...

Question

Подставлял единичку-решается. не могу понять как вывести формулу,которая докажет, что для всех чисел это не равенство будет верным.

---

Comments

Я бы сказал, что при 1 как раз выражение неверно.1 < 1 < 2Но для последующих оно похоже на правду.Итак, предположим, что оно выполняется для n:sqrt(n) < 1 + 1/sqrt(2) + .... + 1/sqrt(n) < 2 * sqrt(n)Обозначим для удобства:P(n) = 1 + 1/sqrt(2) + .... + 1/sqrt(n)Что же будет при n + 1

---

Между знаками неравенства мы получим выражение: sqrt(n + 1) < P(n) + 1/sqrt(n + 1) < 2 * sqrt(n + 1)При этом мы знаем, что P(n):sqrt(n) < P(n) < 2 * sqrt(n)Тогда P(n) + 1/sqrt(n + 1) будет:sqrt(n) + 1/sqrt(n+1) < P(n + 1) < 2*sqrt(n) + 1/sqrt(n+1)Теперь, еслиsqrt(n) + 1/sqrt(n+1) > sqrt(n + 1), а 2*sqrt(n) + 1/sqrt(n+1) < 2*sqrt(n + 1), тополученное для P(n + 1) выражение будет верным.

---

Рассмотрим первое из них.sqrt(n) + 1/sqrt(n+1) > sqrt(n + 1)Очевидно, что обе половины больше нуля, т.о. имеем право возвести в квадрат, знак менять не надо.n + 1/(n + 1) + 2*sqrt(n/n+1) > n + 12*sqrt(n/n+1) > 1 -1/(n + 1)2*sqrt(n/n+1) > n/n+12*sqrt(x) > x4*x > x^2x^2 - 4x < 0x*(x - 4) < 0 + - +--- 0 --- 4 ----Т.о. если 0 < n/n+1 < 4, то данное утверждение верно. А это довольно очевидно, ведь 0 < n/n+1 < 1

---

Рассмотрим второе 2*sqrt(n) + 1/sqrt(n+1) < 2*sqrt(n + 1)4n + 1/(n+1) + 4*sqrt(n/n+1) < 4n + 44*sqrt(n/n+1) < 4 - 1/(n+1)

---

На этом я застрял, если честно, но может то, что я написал вам поможет.

Answer 1

Вероятно, просят доказать для n > 1, поскольку при n=1 имеет место нестрогое неравенство 1 <=1/√1.<hr>

---

Comments

математическая индукция представляет из себя уаеличение предыдущего числа на 1,если очень кратко. но в интернете, к несчачтью, похожих примеров пока вообще не нашел...(

---

Ну, чем тебя не устраивает мое решение?

---

Сначала доказывается база индукции - проверяются первые значения

---

а я не сказал что не устраивает) я в метро сейчас, смогу дома только посмотреть...

---

Затем делается предположение для n=k, что утверждение верно

---

Считая, что оно верно, доказывается, что случай для n=k+1 тоже верный

---

А из этого уже можно делать вывод, что для k+2, k+3 и т.д. утверждение так же верное, поскольку доказательство для них делается на основе справедливости утверждения для n=k+1 и n=k+2 и т.д. соответственно