X^2-8(x+1)√x+18x+1=0

$x^{2} - 8(x+1) \sqrt{x} +18x+1=0 \\ (x^{2} +2x+1 )+ 16x - 8(x+1) \sqrt{x} = 0 \\ (x+1)^{2} - 8(x+1) \sqrt{x} + 16 x= 0 \\ (x+1)^{2} - 2*4*(x+1) \sqrt{x} + (4 \sqrt{x} )^{2}= 0 \\ ((x+1)- 4\sqrt{x} )^{2}= 0 \\ x+1 - 4\sqrt{x} =0 \\$

Замена: $\sqrt{x} = t \ \textgreater \ 0$
$t^{2} - 4t+1 =0 \\ D=16 - 4 = 12 \\ t_{1} = \frac{4+2 \sqrt{3} }{2} = 2+ \sqrt{3} \\ t_{2} = \frac{4-2 \sqrt{3} }{2} = 2- \sqrt{3} \\$
Переходя к переменной х, получим:
$\sqrt{x} = 2+ \sqrt{3} \\ x = (2+ \sqrt{3} ) = 4+4\sqrt{3} +3 = 7+4\sqrt{3}$
или
$\sqrt{x} = 2- \sqrt{3} \\ x = (2- \sqrt{3} ) = 4-4\sqrt{3} +3 = 7-4\sqrt{3}$

Ответ: $7+4\sqrt{3}; 7-4\sqrt{3}.$