Найдите точку пересечения касательной к графику функции в точке и наклонной асимптоты...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Сначала запишем уравнение касательной к графику первой функции в точке x0=-1:
y=4-2(x+2)=-2x
Теперь найдем наклонную асимптоту графика второй функции. Ее общий вид y=kx+b, где k=lim x->oo f(x)/x, b=lim x->oo (f(x)-kx). y=kx+b будет наклонной асимптотой, если оба предела существуют и конечны. Найдем первый предел:
$\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{4x^2+8x+3}{2x+4} }{x} =\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2+8x+3}{x(2x+4)} =\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2+8x+3}{2x^2+4x)}= \frac{4}{2} =2$
Он конечен, поэтому ищем второй предел:
$\lim_{x \to \infty}(\frac{4x^2+8x+3}{2x+4}-2x)= \lim_{x \to \infty}(\frac{4x^2+8x+3-2x(2x+4)}{2x+4})= \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{2x+4} =0$
Таким образом наклонной асимптотой является y=2x
Прямые y=2x и y=-2x пересекаются в точке x=0.

KayKosades_zn (3.9k баллов) 30 Апр, 18

Сейчас все объясню. Общий вид уравнения касательной в точке x0: y=f(x0)+f'(x0)(x-x0). Остается только подставить числа. Насчет первого предела. Такие пределы где x стремится к бесконечности и в числителе и знаменателе многочлены одной степени считаются устно. Надо просто поделить коэффициенты перед одночленами в старшей степени. старшая степень здесь вторая, коэффициенты здесь 4 и 2. 4/2=2.

оставил комментарий KayKosades_zn (3.9k баллов) 30 Апр, 18

Если старшие степени в числителе и знаменателе были бы разные, то: если ст. числителя больше ст. знаменателя, то предел равен бесконечности, а если наоборот то нулю. Во втором пределе мы получаем, что знаменатель стремится к беконечности, а 3/oo=0->0 Здесь надо запомнить что любое число деленное в пределе на бесконечность дает ответ 0. А бесконечность на любое число: бесконечность. Это по сути просто частный случай того лайфхака, который я здесь расписал.

оставил комментарий KayKosades_zn (3.9k баллов) 30 Апр, 18