1) Здесь все просто.
Вся окружность будет вписана в равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными 13 и основанием 5+5=10 ( нужно достроить прямоугольный треугольник до равнобедренного).
Площадь треугольника, в который вписана окружность, находится по формуле:
S= p*r;
Площадь можно найти, как половина произведения основания на высоту:
S=12*10/2=60;
полупериметр равен:
р=(13+13+10)/2=18;
радиус вписанной в треугольник окружности равен:
60=18*r;
r=60/18=10/3;
это и есть радиус полуокружности.
ответ: 10/3
2) Можно по другому.
АВ=13; ВС=5; АС=12;
Из вершины В проведем биссектрису ВК. К - это центр полуокружности (получается окружность вписана в угол АВС, а центр этой окружности лежит на биссектрисе этого угла).
СК=r; AK=12-r;
По свойству биссектрисы:
СК/ВС=АК/AВ;
r/5=(12-r)/13;
13/5=(12-r)/r;
13/5=12/r - 1;
12/r=18/5;
r=12*5/18=10/3;
3) есть ещё один способ.
АВ=13; ВС=5; АС=12;
На стороне АС отмечаем точку К - центр полуокружности. Из точки К проводим отрезок КР на сторону АВ в точку касания с окружностью. КР - это радиус окружности, угол АРК - прямой (КР - радиус; прямая АВ - касательная к полуокружности). Треугольники АВС и АКР подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует:
КР/ВС=АР/АС;
(КР=r; BC=5; AC=12;
AP=AB-PB=13-5=8; PB=BC, так как это отрезки касательных, проведённых из одной вершины);
r/5=8/12;
r=8*5/12=2*5/3=10/3;