Найдите все значения А при которых уравнение имеет ровно два решения: ( |х-7| - |x-a|...

Question

Дан 1 ответ

KayKosades_zn · Answer 1 · 2018-04-30T03:35:25+0000

Разложим левую часть на множители.
$(|x-7| - |x-a|)^2 - 13a( |x-7| - |x-a| ) + 30a^2+ 21a - 9 = 0 \\ D=169a^2-4(30a^2+21a-9)=49a^2-84a+36=(7a-6)^2 \\ (|x-7|-|x-a|-10a+3)(|x-7|-|x-a|-3a-3)=0$
Уравнения |x-7|-|x-a|=10a-3 и |x-7|-|x-a|=3a+3 либо имеют одно решение, либо имеют бесконечно много решений, либо вообще решений не имеют. Нас устраивает случай когда каждое из этих уравнений имеет одно решение. Легко понять, что для существования этого единственного решения модули должны раскрываться с разными знаками.
Пусть a>7, тогда, раз модули модули должны раскрыться с разными знаками, x∈[7; a). Разбираемся с первым уравнением, модули раскроются так:
x-7-a+x=10a-3
2x=11a+4
x=(11a+4)/2. Этот x должен принадлежать рассматриваемому промежутку, получаем систему:
{a>7
{7≤(11a+4)/2Решений нет, а значит сразу переходим к случаю a<7 (a=7 можно пропустить, так как такой а, очевидно, нам не подходит) Нужный промежуток: x∈[a; 7)
Раскрываем модули, преобразовываем и получаем
x=(10-9a)/2
Решаем систему:
{a<7 {a≤(10-9a)/2<7 Получаем: -4/9Переходим ко второму уравнению, раскрываем модули на том же промежутке для a<7 и получаем x=2-2a. Решаем систему: {a<7 {a≤2-2a<7 Получаем -5/2 -4/9 Проверь все сам, я мог где то и ошибиться.